(2014•濮阳县一模)已知函数f(x)=lnx-ax+a(a∈R),g(x)=x2+2x+m(x<0).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/26 21:50:58
(2014•濮阳县一模)已知函数f(x)=lnx-ax+a(a∈R),g(x)=x2+2x+m(x<0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=0,函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线与函数y=g(x)相切于B(x0,g(x0)),求实数m的值.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=0,函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线与函数y=g(x)相切于B(x0,g(x0)),求实数m的值.
(1)∵f(x)=lnx-ax+a(a∈R),
∴f′(x)=
1−ax
x,x>0,
若a≤0,则f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a>0,则当x∈(0,
1
a)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,
1
a)上单调递增,当x∈(
1
a,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在∈(
1
a,+∞)上单调递减;
(2)当a=0时,f(x)=lnx,f′(x)=
1
x,
∴f′(2)=
1
2,
∴函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线方程为y=
1
2(x−2)+ln2,
又函数y=g(x)在B(x0,g(x0))处的切线方程为y=(2x0+2)(x−x0)+x02+2x0+m,
整理得y=(2x0+2)x−x02+m,
由已知得
1
2=2(x0+1)
ln2−1=−x02+m,
解得x0=−
3
4,m=−
7
16+ln2.
∴f′(x)=
1−ax
x,x>0,
若a≤0,则f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a>0,则当x∈(0,
1
a)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,
1
a)上单调递增,当x∈(
1
a,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在∈(
1
a,+∞)上单调递减;
(2)当a=0时,f(x)=lnx,f′(x)=
1
x,
∴f′(2)=
1
2,
∴函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线方程为y=
1
2(x−2)+ln2,
又函数y=g(x)在B(x0,g(x0))处的切线方程为y=(2x0+2)(x−x0)+x02+2x0+m,
整理得y=(2x0+2)x−x02+m,
由已知得
1
2=2(x0+1)
ln2−1=−x02+m,
解得x0=−
3
4,m=−
7
16+ln2.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=x+ax(a∈R),g(x)=lnx
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
已知函数f(x)=ax,g(x)=lnx,其中a∈R.
(2014•商丘二模)已知函数f(x)=lnx-x-ax,a∈R.
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
(2014•安阳一模)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+x,a∈R.