对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 04:37:28
对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
原式等价于
|a+b|+|a−2b|
|a|≥|x-1|+|x-2|,设
b
a=t,
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|,对任意t恒成立.
因为|t+1|+|2t-1|=
3t (t≥
1
2)
−t+2 (−1<t<
1
2)
−3t ,(t≤−1),最小值在 t=
1
2 时取到,为
3
2,
所以有
3
2≥|x-1|+|x-2|=
2x−3 (x≥2)
1 ,(1<x<2)
3−2x (x≤1) 解得 x∈[
3
4,
9
4].
|a+b|+|a−2b|
|a|≥|x-1|+|x-2|,设
b
a=t,
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|,对任意t恒成立.
因为|t+1|+|2t-1|=
3t (t≥
1
2)
−t+2 (−1<t<
1
2)
−3t ,(t≤−1),最小值在 t=
1
2 时取到,为
3
2,
所以有
3
2≥|x-1|+|x-2|=
2x−3 (x≥2)
1 ,(1<x<2)
3−2x (x≤1) 解得 x∈[
3
4,
9
4].
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