过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 06:33:40

过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0).B(-a,o),
过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0).B(-a,o),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.（1）当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长：（2）当点P异于点B时,求证；向量OP点乘向量OQ为定值

过点C(0,1)的椭圆x²/a² +y²/b²=1(a>b>0)的离心率为(√3)/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,o),过点C的直线L与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
（1）当直线L过椭圆右焦点时,求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时,求证；向量OP点乘向量OQ为定值.

（1）把C(0,1)代入x²/a² +y²/b²=1得
b=1
又离心率为(√3)/2,即
c/a=(√3)/2
两边平方得
3a²=4c²
把c²=a²-b²=a²-1代入得
a=2
当直线L过椭圆右焦点(√3,0)时
L：x/√3+y=1
把L代入椭圆x²/4 +y²=1得
7x²-(8√3)x=0
即
x₁=0 ,x₂=(8√3)/7
故
CD=√[1+(-1/√3)²]| x₁- x₂|=[√(4/3)][(8√3)/7]=16/7
（2）设P(p,0),p≠-2,则
L：x/p+y=1
代入椭圆x²/4 +y²=1易得
x₁=0 ,x₂=(2/p)/[(1/4)+(1/p²)]=8p/(4+p²)
从而
D(8p/(4+p²),(p²-4)/(p²+4))
直线BD的方程为
y={[(p²-4)/(p²+4)-0]/[8p/(4+p²)-(-2)]}[x-(-2)]
直线AC的方程为
x/2+y=1
联列直线BD、AC的方程得
Q(4/p,1-2/p)
故
(向量OP)·(向量OQ)
=(p,0)·(4/p,1-2/p)
=p·(4/p)+0·(1-2/p)
=4
证毕

很高兴为您解答,祝学习进步!
欢迎追问、交流!
如果您认可我的回答,请点击下面的【选为满意回答】按钮,谢谢!

已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点,当已知椭圆的离心率为根号3/2,直线y=1/2x+1与椭圆交于A,B两点,点M在椭圆上,OM=1/2OA+根号3/2ob, 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为根号3/3,过右焦点F的直线l与C相交与A、B两点已知椭圆X^2/a^2 +y ^2/b^2 =1(a>b>0)的离心率为1/2,过F1的直线交椭圆于A.B且两点三角形A 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率e=根号2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P,Q两点, 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号2/2,左焦点F（-2,0）若直线y=x+m与椭圆交于不同的两点椭圆ax^2+bx^2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为根号3/2,求椭圆的离心率. 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号2/2,并且椭圆过点（1,1）,过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的长轴为短轴的根号3倍,直线y=x与椭圆交于A,B两点,C为椭圆的右顶点,向量OA 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆c的