已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 15:43:48

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx （x∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．

（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx（（2分）
即log4
4x+1
4−x+1＝−2kx
∴log₄4^x=-2kx（4分）
∴x=-2kx对x∈R恒成立．（6分）
∴k=−
1
2．（7分）
（2）由m＝f(x)＝log4(4x+1)−
1
2x，
∴m＝log4
4x+1
2x＝log4(2x+
1
2x)．（9分）∵2x+
1
2x≥2（11分）
∴m≥
1
2（13分）
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围：m≥
1
2．（14分）

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