已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 15:26:26

已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
（1）求k的值：（2）若方程f(x)-m=0有解,求m的取值范围.
详解第二题.

（1）
f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即log[4^(-x)+1]+k(-x)=log(4^x+1)+kx,
∴log{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
（2）
f(x)=log4(4^x+1)-x/2-m=0
m=log4(4^x+1)-x/2
=log4(4^x+1)-log4[4^(x/2)]
=log4[(4^x+1)/4^(x/2)]
(4^x+1)/4^(x/2)
=4^x/4^(x/2)+1/4^(x/2)
=4^(x/2)+1/4^(x/2)
因为4^(x/2)〉0
所以
4^(x/2)+1/4^(x/2)>=2根号[4^(x/2)*1/4^(x/2)]=2
当4^(x/2)=1/4^(x/2)时取等号
[4^(x/2)]^2=1
4^x=1
x=0
可以取到
所以m>=log4(2)=1/2

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