a,b,c为正数是a3+b3+c3≥3abc的什么条件
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 07:36:05
a,b,c为正数是a3+b3+c3≥3abc的什么条件
充要还是另外什么
充要还是另外什么
充分不必要条件,因为从a,b,c为正数可以推出a^3+b^3+c^3≥3abc,
而从a^3+b^3+c^3≥3abc推不出a,b,c为正数,至于证明过程,还是可以给出的.
当a>0,b>0,c>0
证明:a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
显然当且仅当a=b=c时等号成立.
同样,不必要条件的反例也可以给出的,
比如a=100,b=100,c=-1时,a^3+b^3+c^3≥3abc,但是此时a,b,c不全是正数.
所以是充分不必要条件,
而从a^3+b^3+c^3≥3abc推不出a,b,c为正数,至于证明过程,还是可以给出的.
当a>0,b>0,c>0
证明:a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
显然当且仅当a=b=c时等号成立.
同样,不必要条件的反例也可以给出的,
比如a=100,b=100,c=-1时,a^3+b^3+c^3≥3abc,但是此时a,b,c不全是正数.
所以是充分不必要条件,
设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
若abc为正数,证明2(a3+b3+c3)大于等于a2(b+c)+b2(a+c)+c2( a+b)注是3是立方
证:2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),abc不全相等的正数
设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______.
帮个忙a,b,c是不全相等的正数 证明:2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b) 注:字母
以知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)
1.证明题.已知a.b.c是不全相等的正数,求证 2(a3+b3+c3)>a2(a+b)+b2(a+c)+c2(a+b)
已知 a+ b+ c=0 ,求证a3+ b3+ c3=3abc
已知a+b+C=0证明a3+ b3+ c3= 3abc
已知:a2+b2+c2-2(a+b+c)+3=0,求a3+b3+c3-3abc的值
a3(b+c)+b3(a+c)+c3(a+b)+abc(a+b+c) 分解因式
问道关于不等式的题,a3+b3+c3+3abc>2(a+b)c2 已知a>0 b>0 c>0 a+b>c a,b,c互不