复变函数 解析函数 第一问的意思是用a表示y的极值。第二问是f(z)的z=0时,f(0)=a,因此f(z)在全体复数平面
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 15:54:22
复变函数 解析函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/db/8db056ce9e768ef94ceb55613649a42c.jpg)
第一问的意思是用a表示y的极值。
第二问是f(z)的z=0时,f(0)=a,因此f(z)在全体复数平面被定义的函数。A是正数,[-A,A]是实轴上的点,Ca是-A到A的圆心,(就是那个半圆)然后求积分。
第三问是先求积分,再求极限。
第四问是求极限,第五问是求积分!
虽然是日文,相信大家大概能看懂。
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/db/8db056ce9e768ef94ceb55613649a42c.jpg)
第一问的意思是用a表示y的极值。
第二问是f(z)的z=0时,f(0)=a,因此f(z)在全体复数平面被定义的函数。A是正数,[-A,A]是实轴上的点,Ca是-A到A的圆心,(就是那个半圆)然后求积分。
第三问是先求积分,再求极限。
第四问是求极限,第五问是求积分!
虽然是日文,相信大家大概能看懂。
过程不算很详细,
(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+...
因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+...
可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2.
(2) 在定义f(0) = a以后,f(z)在整个复平面上解析.
由Cauchy积分定理,f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0.
(3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it),t由0到π.
故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))
= ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt
= i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt
= i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π
= 2/A-π.
于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z² dz = -π.
(4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))|
= |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt|
≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt
= ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt (当b为实数,|e^(ib)| = 1).
= ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt
≤ ∫{0,π} 1/A dt (Asin(t) ≥ 0,故e^(-Asin(t)) ≤ 1)
= π/A.
当A → +∞时π/A → 0,可得lim{A → +∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0.
故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz = 0.
(5) 由(3)(4)的结果,可得lim{A → +∞} ∫{C_A} f(z)dz = -π.
又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A} f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz,
可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π.
注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0} f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz
= ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z² dz
= 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz.
因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx = lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz = π/2.
(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+...
因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+...
可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2.
(2) 在定义f(0) = a以后,f(z)在整个复平面上解析.
由Cauchy积分定理,f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0.
(3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it),t由0到π.
故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))
= ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt
= i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt
= i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π
= 2/A-π.
于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z² dz = -π.
(4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))|
= |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt|
≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt
= ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt (当b为实数,|e^(ib)| = 1).
= ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt
≤ ∫{0,π} 1/A dt (Asin(t) ≥ 0,故e^(-Asin(t)) ≤ 1)
= π/A.
当A → +∞时π/A → 0,可得lim{A → +∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0.
故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz = 0.
(5) 由(3)(4)的结果,可得lim{A → +∞} ∫{C_A} f(z)dz = -π.
又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A} f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz,
可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π.
注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0} f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz
= ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z² dz
= 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz.
因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx = lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz = π/2.
复变函数 解析函数 第一问的意思是用a表示y的极值。第二问是f(z)的z=0时,f(0)=a,因此f(z)在全体复数平面
复变函数问题f(z)=e的z次方在z=0处解析吗?
复变函数,证明函数f(z)=e^z在整个复平面解析
简单的复变函数题设f(z)={ xy/(x*x+y*y),z不等于0:0,z等于0;证明;f(z)在z=0处不连续.
复变函数解析函数问题若解析函数f(z)=u+iv 的实部u=x^2-y^2 则f(z)=?答案写得是f(z)=z^2+i
f(z)=z的共轭复数,问f(z)的解析情况?
微积分隐函数问题设z=z(x,y)是由方程F(x-z,y-z)=0所确定的隐函数,其中F有一阶连续偏导数,且F'1+F'
复变函数定理上讲如果f(z)在单连通域内处处解析,那么函数F(z)必为B内的一个解析函数.那为什么1/z除了原点外处处解
复变函数一道若u(x,y)与v(x,y)分别是解析函数f(z)的实部与虚部,且f(z)求导不等于0,试证明u(x,y)=
复变函数问题,z=0是函数f(z)=1/[z^2(e^z+1)]的多少级极点?
复变函数求教证明:若函数f(z)在D内解析,γ是一条周线,γ及其内部⊂D,f(z)在γ上取实值,f(z)在D
设z=z(x,y)是由方程F(y/x,z/x)=0所决定的函数,则xδz/δx+yδzδy=( ).