作业帮（2012•河南模拟）给出以下四个命题：
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/07 15:25:01
（2012•河南模拟）给出以下四个命题：
①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2-x+1≥0，则命题p∧q是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
③函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
y−1＝0
①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2-x+1≥0，则命题p∧q是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
③函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
| 1 |
| 2 |
对于①，根据正切的定义知命题p是真命题，
而命题q：∀x∈R，x2-x+1≥0，因为△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点，故p也是真命题．
因此命题p∧q是真命题，①正确；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，f（x）=2x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故③是真命题；
对于④，直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
1
2y−1＝0垂直，则sinαcosα-
1
2cosα=0，
可得sinα=
1
2或cosα=0，所以α=2kπ+
π
6或α=2kπ+
5π
6或α=kπ+
π
2
由此可得④不正确．
故答案为：①③
而命题q：∀x∈R，x2-x+1≥0，因为△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点，故p也是真命题．
因此命题p∧q是真命题，①正确；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，f（x）=2x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故③是真命题；
对于④，直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
1
2y−1＝0垂直，则sinαcosα-
1
2cosα=0，
可得sinα=
1
2或cosα=0，所以α=2kπ+
π
6或α=2kπ+
5π
6或α=kπ+
π
2
由此可得④不正确．
故答案为：①③
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