(2012•河南模拟)给出以下四个命题:
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/31 01:14:15
(2012•河南模拟)给出以下四个命题:
①已知命题p:∃x∈R,tanx=2;命题q:∀x∈R,x2-x+1≥0,则命题p∧q是真命题;
②过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0;
③函数f(x)=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点;
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
y−1=0
①已知命题p:∃x∈R,tanx=2;命题q:∀x∈R,x2-x+1≥0,则命题p∧q是真命题;
②过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0;
③函数f(x)=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点;
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
1 |
2 |
对于①,根据正切的定义知命题p是真命题,
而命题q:∀x∈R,x2-x+1≥0,因为△=(-1)2-4×1×1=-3<0,
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点,故p也是真命题.
因此命题p∧q是真命题,①正确;
对于②,过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x,故②不正确;
对于③,f(x)=2x+2x-3在R上是增函数,而且f(0)=-2<0,f(1)=1>0
所以函数f(x)=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点,故③是真命题;
对于④,直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
1
2y−1=0垂直,则sinαcosα-
1
2cosα=0,
可得sinα=
1
2或cosα=0,所以α=2kπ+
π
6或α=2kπ+
5π
6或α=kπ+
π
2
由此可得④不正确.
故答案为:①③
而命题q:∀x∈R,x2-x+1≥0,因为△=(-1)2-4×1×1=-3<0,
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点,故p也是真命题.
因此命题p∧q是真命题,①正确;
对于②,过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x,故②不正确;
对于③,f(x)=2x+2x-3在R上是增函数,而且f(0)=-2<0,f(1)=1>0
所以函数f(x)=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点,故③是真命题;
对于④,直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα−
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2y−1=0垂直,则sinαcosα-
1
2cosα=0,
可得sinα=
1
2或cosα=0,所以α=2kπ+
π
6或α=2kπ+
5π
6或α=kπ+
π
2
由此可得④不正确.
故答案为:①③
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