（2009•湖州）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 03:13:07

（2009•湖州）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点

P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

（1）⊙P与x轴相切，（1分）
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，（2分）
∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．（1分）

（2）设⊙P₁与直线l交于C，D两点，连接P₁C，P₁D，
当圆心P₁在线段OB上时，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD为正三角形，
∴DE=
1
2CD=
3
2，P₁D=3．
∴P₁E=
3
3
2．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴
AO
AB＝
P1E
P1B，即
4
4
5＝

3
3
2
P1B，
∴P1B＝
3
15
2．（2分）
∴P₁O=BO-BP₁=8-
3
15
2．
∴P₁（0，