一道高数证明题求解设f″(x)在[a,b]上存在,且a
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 21:37:28
一道高数证明题求解
设f″(x)在[a,b]上存在,且a
设f″(x)在[a,b]上存在,且a
令F(x)=f(x) - f(a)/[(a-b)(a-c)]×(x-b)x-c) - f(b)/[(b-a)(b-c)]×(x-a)(x-c) - f(c)/[(c-a)(c-b)]×(x-a)(x-b).则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=F(c)=0.
在[a,c],[c,b]上使用罗尔中值定理,则存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得F'(ξ1)=0,F'(ξ2)=0.
在[ξ1,ξ2]上继续使用罗尔中值定理,则存在ξ∈(a,b),使得F''(ξ)=0.
F''(x)=f''(x)- f(a)/[(a-b)(a-c)]×2 - f(b)/[(b-a)(b-c)]×2 - f(c)/[(c-a)(c-b)]×2,所以f''(ξ)=f(a)/[(a-b)(a-c)]×2 + f(b)/[(b-a)(b-c)]×2 + f(c)/[(c-a)(c-b)],即
1/2×f''(ξ)=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)].
再问: 高明,但想问一你是怎么想到第一步的变换的,思路是什么
再答: 结论是f″(§) 等于一个常数,切合罗尔中值定理,所以考虑把整个结论转化为某个函数的二阶导数F''(x)有零点,当然F(x)的构造有点技巧,就是(x-b)x-c),(x-a)(x-c),(x-a)(x-b)的选择。
在[a,c],[c,b]上使用罗尔中值定理,则存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得F'(ξ1)=0,F'(ξ2)=0.
在[ξ1,ξ2]上继续使用罗尔中值定理,则存在ξ∈(a,b),使得F''(ξ)=0.
F''(x)=f''(x)- f(a)/[(a-b)(a-c)]×2 - f(b)/[(b-a)(b-c)]×2 - f(c)/[(c-a)(c-b)]×2,所以f''(ξ)=f(a)/[(a-b)(a-c)]×2 + f(b)/[(b-a)(b-c)]×2 + f(c)/[(c-a)(c-b)],即
1/2×f''(ξ)=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)].
再问: 高明,但想问一你是怎么想到第一步的变换的,思路是什么
再答: 结论是f″(§) 等于一个常数,切合罗尔中值定理,所以考虑把整个结论转化为某个函数的二阶导数F''(x)有零点,当然F(x)的构造有点技巧,就是(x-b)x-c),(x-a)(x-c),(x-a)(x-b)的选择。
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