（2014•河南一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 20:49:09

（2014•河南一模）已知函数f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax+m在[

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
则f′（x）=
2
x-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线斜率k=f′（1）=2，
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x²+m，
则g′（x）=
2
x-2x=
−2(x+1)(x−1)
x，
∵x∈[
1
e，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
当
1
e＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，
故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m-1，
g（
1
e）=m-2-
1
e2，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（
1
e）=4-e²+
1
e2＜0，
则g（e）＜g（
1
e），
∴g（x）=f（x）-ax+m在[
1
e，e]上最小值为g（e），
要使g（x）=f（x）-ax+m在[
1
e，e]上有两个零点，
则满足

g(1)＝m−1＞0
g(
1
e)＝m−2−
1
e2≤0，
解得1＜m≤2+
1
e2，
故实数m的取值范围是（1，2+
1
e2]

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