作业帮（高一数学）已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)-x ² +x]=f(x)-x ² +x.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 21:37:48
（高一数学）已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)-x ² +x]=f(x)-x ² +x.
(1).f(2)=3,求f（1）；有若f(0)=a,求f(a); (2).设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式
(1).f(2)=3,求f（1）；有若f(0)=a,求f(a); (2).设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式
（I）因为对任意x∈R,有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x^2＋x
所以f(f(2)－2^2＋2)＝f(2)－2^2＋2
又由f(2)＝3,得 f (3－2^2＋2)＝3－2^2＋2,即 f(1)＝1
若f(0)＝a,则f (a－0^2＋0)＝a－0^2＋0,即 f(a)＝a
（Ⅱ）因为对任意x∈R,有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)＝x0
所以对任意,有f(x)－x^2＋x＝x0
在上式中令x＝x0,有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0,所以－x0^2 ＝0,故x0＝0或x0＝1
若x0＝0,则f(x)－x^2＋x＝0,即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0＝1,则有则f (x)－x^2＋x＝1,即f (x)＝x^2－x＋1.易验证函数满足题设条件.
综上,所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）
所以f(f(2)－2^2＋2)＝f(2)－2^2＋2
又由f(2)＝3,得 f (3－2^2＋2)＝3－2^2＋2,即 f(1)＝1
若f(0)＝a,则f (a－0^2＋0)＝a－0^2＋0,即 f(a)＝a
（Ⅱ）因为对任意x∈R,有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)＝x0
所以对任意,有f(x)－x^2＋x＝x0
在上式中令x＝x0,有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0,所以－x0^2 ＝0,故x0＝0或x0＝1
若x0＝0,则f(x)－x^2＋x＝0,即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0＝1,则有则f (x)－x^2＋x＝1,即f (x)＝x^2－x＋1.易验证函数满足题设条件.
综上,所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）
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