（2014•湖北模拟）设函数f（x）=x2+ln（x+1）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/05 02:15:54

（2014•湖北模拟）设函数f（x）=x²+ln（x+1）．
（1）求证：当x∈（0，+∞）时f（x）＞x恒成立；
（2）求证：

（1）设g（x）=x-f（x）=x-x²-ln（x+1）．
则g′(x)＝1−2x−
1
x+1＝
−2x2−x
x+1
当x＞0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上递减，
∴g（x）＜g（0）=0，即x＜f（x）恒成立．
（2）由（1）知，x＞0时，x-x²＜ln（x+1）
令x＝
1
n（n∈N*），得
1
n−
1
n2＜ln(1+
1
n)，∴
2014

n＝1(
1
n−
1
n2)＜
2014

n＝1ln
n+1
n，
即
1
22+
2
32+…+
2013
20142＜ln2015．
（3）∵y=sinx在[0，1]上单调递增，
∴
n

i＝1sin
i−1
n＝n[
1
n(sin
0
n+sin
1
n+…+sin
n−1
n)]＜n
∫10
sinxdx＝n(−cosx)|10＝n(1−cos1)，
又y＝
1
1+x在[0，1]上单调递减，
∴
n

i＝1
n
i+n＝
1
1+
1
n+
1
1+
2
n+…+
1
1+
n
n＝n[
1
n(

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