关于双曲线的性质,证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 16:30:57

关于双曲线的性质,
证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角

看【古希腊】阿波罗尼的《圆锥曲线论》.
这是我自己想的：
先给出以下引理：
如图所示,点P在直线l上运动,定点A,B在l的异侧,求证：当|AP﹣BP|最大时,l平分∠APB
证明：作B关于l的对称点B',在△AB'P’中,AB＞|AP‘﹣BP’|,当A,B',P共线时AB'=|AP﹣B'P|
           因此当|AP﹣BP|最大时,A,B',P三点共线.
      所以∠APP'=∠B’PP‘,由对称知∠BPP'=∠B'PP'
           因此,此时l平分∠APB
下面证明原命题.
证明：在双曲线上过点P的切线上的点P‘必在双曲线的“外侧”.
      此时,|F1P’﹣F2P‘|＜2a,a为实轴长
      而由双曲线定义|F1P﹣F2P|=2a
          根据引理,可知l平分∠F1PF2
这个问题也可以求导解决.
先考察P在第一象限时的情况.
设x²/a²﹣y²/b²=1,用隐函数微分法,得2/a² x dx﹣2/b² y dy=0
化简得dy/dx=b²/a²  x/y
设P（x0,y0）,则过P的切线l的方程为y﹣y0=y'（x﹣x0）
而y’=b²/a²  x0/y0
在l的方程中,令y=0,即得l与x轴的交点,经计算,这个交点坐标为（(b²x0²﹣a²y²)/(b²x0),0）
化简得（a²/x0,0）,记为点Q
于是F1Q=c+a²/x0,F2Q=c﹣a²/x0
由焦半径公式F1P=a+ex0,F2Q=ex0﹣a
下面证明F1Q：F1P=F2Q：F2P
∵F1Q×F2P=（c+a²/x0）（ex0﹣a）=ecx0﹣a³/x0
  F2Q×F1P=（c﹣a²/x0）（ex0+a）=ecx0﹣a²/x0
因此F1Q：F1P=F2Q：F2P
由三角形内角平分线定理得PQ平分∠F1PF2

关于双曲线的性质,证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角请问,如何证明,椭圆上任意一点P处的切线平分△PF1F2在点P处的外角? 求证:椭圆上点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角椭圆性质求证明椭圆中PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的有关椭圆的证明题PT平分三角形PF1F2在点P处的外交,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆除去长轴的点F1 F2是双曲线x²-y²/3=1的焦点,点P在该双曲线上,三角形PF1F2的内切圆半径为r,求已知双曲线X2/64-Y2/36=1的焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且PF1垂直于PF2,求三角形PF1F2面积求双曲线y=1/x上任意一点p处的切线与两坐标轴围成的三角形面积. 求双曲线Y=1/X上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积设f1f2为双曲线x^2/4－y^2＝1的两个焦点,点p在双曲线上且pf1垂直pf2,则三角形pf1f2的面积是多少? 设F1、F2是双曲线x^2-y^2/24的两个焦点,p是双曲线上的点,且|PF1|+|PF2|=14,求三角形PF1F2 已知P在焦点为F1、F2的双曲线的右支上运动,则三角形PF1F2的内切圆的圆心一定在一条直线上