如图,直角梯形OABC中,OC‖AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于D E两点(D点在E点右方）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/02 16:52:37

如图,直角梯形OABC中,OC‖AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于D E两点(D点在E点右方）
1 求点E,D的坐标
2 求过B C D三点的抛物线的函数关系式
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（1）取BC的中点M,过M作MN⊥x轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心；
∵点D是⊙M上的点,且BC是直径,
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB,
∴△OCD∽△ADB；
∴ ；
∵OC=3,AB=1,OA=OD+DA=4,
∴3×1=OD×（4-OD）,
解得OD=1,OD=3；
∵点D在点E右边,
∴OD=3,OE=1；
即D（3,0）,E（1,0）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,（a≠0）,依题意,
有：,
解得；
∴y= x2- x+3；
（3）假设存在这样的Q点；
①△BDQ以D为直角顶点；
由于CD⊥BD,且C点在抛物线的图象上,
所以C点符合Q点的要求；
此时Q（0,3）；
②△BDQ以B为直角顶点；
易知直线AC的解析式为：y=-x+3；
作过B的直线l,且l‖CD；
设l的解析式为y=-x+h,由于l经过点B（4,1）,
则有：-4+h=1,h=5；
∴直线l的解析式为y=-x+5；
联立抛物线的解析式有：
,
解得 ,；
∴Q（-1,6）；
综上所述,存在符合条件的Q点,且Q点坐标为（0,3）或（-1,6）．