设函数f(x)=x2+bln(x+1),
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 19:14:55
设函数f(x)=x2+bln(x+1),
(1)若对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.
(1)若对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.
(1)由x+1>0得x>-1
∴f(x)的定义域为(-1,+∞),
对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),
∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0,
f/(x)=2x+
b
x+1,∴2+
b
2=0,
解得b=-4.
(2)∵f/(x)=2x+
b
x+1=
2x2+2x+b
x+1,
又函数f(x)在定义域上是单调函数,
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.
若f′(x)≥0,
∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立,
即b≥-2x2-2x=−2(x+
1
2)2+
1
2恒成立,由此得b≥
1
2;
若f′(x)≤0,
∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立,
因-(2x2+2x)在(-1,+∞)上没有最小值,
∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是[
1
2,+∞).
故答案为:(1)b=-4;(2)实数b的取值范围是[
1
2,+∞).
∴f(x)的定义域为(-1,+∞),
对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),
∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0,
f/(x)=2x+
b
x+1,∴2+
b
2=0,
解得b=-4.
(2)∵f/(x)=2x+
b
x+1=
2x2+2x+b
x+1,
又函数f(x)在定义域上是单调函数,
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.
若f′(x)≥0,
∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立,
即b≥-2x2-2x=−2(x+
1
2)2+
1
2恒成立,由此得b≥
1
2;
若f′(x)≤0,
∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立,
因-(2x2+2x)在(-1,+∞)上没有最小值,
∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是[
1
2,+∞).
故答案为:(1)b=-4;(2)实数b的取值范围是[
1
2,+∞).
设函数f(x)=x2+bln(x+1),
设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
设 函数 f ( x )=( x - 1)^ 2 +bln x ,其中 b 为常数.当
设函数f(x)=x^2+bln(x+1),b不为0
设函数f(x)=x2+bln(x+1)(1) 当b=-4时,求函数f(x)的极值; (2) 当b>1/2时,求函数f(x
设函数f(x)=x的平反+bln(x+1) (一问)若对定义域内任意x,都有f(x)大于或等于f(1)成立,求...
设函数f(x)=x^2+bln(x+1),其中b不等于0,(1)当b>1/2时,函数f(x)在其定义域上的单调性
设函数f(x)=x^2+bln(x+1),其中b不等于0,当b>1/2时,函数f(x)在其定义域上的单调性是怎么样的?
若f(x)=-0.5x^2+bln(x+2)在(-1,+无穷)上是减函数,则b的取值范围
设函数f(x)=x2+x+12
设函数f(x)=|x2-2x|.
设函数f(x)=x2+2x