已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 06:27:09
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(1)求a3,a5;
(2)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(3)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
(1)求a3,a5;
(2)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(3)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
(1)由题意,令m=2,n=1,可得a3=2a2-a1+2=6
再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a1+8=20
(2)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8
即bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列
则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2
另由已知(令m=1)可得
an=
a2n−1+a1
2-(n-1)2.
那么an+1-an=
a2n+1−a2n−1
2-2n+1=
8n−2
2-2n+1=2n
于是cn=2nqn-1.
当q=1时,Sn=2+4+6++2n=n(n+1)
当q≠1时,Sn=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn-1.
两边同乘以q,可得
qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn.
上述两式相减得
(1-q)Sn=2(1+q+q2+…+qn-1)-2nqn
=2•
1−qn
1−q-2nqn
=2•
1−(n+1)qn+nqn+1
1−q
所以Sn=2•
nqn+1−(n+1)qn+1
(q−1)2
综上所述,Sn=
n(n+1) (q=1)
2•
nqn+1−(n+1)qn+1
(q−1)2 (q≠1).
再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a1+8=20
(2)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8
即bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列
则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2
另由已知(令m=1)可得
an=
a2n−1+a1
2-(n-1)2.
那么an+1-an=
a2n+1−a2n−1
2-2n+1=
8n−2
2-2n+1=2n
于是cn=2nqn-1.
当q=1时,Sn=2+4+6++2n=n(n+1)
当q≠1时,Sn=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn-1.
两边同乘以q,可得
qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn.
上述两式相减得
(1-q)Sn=2(1+q+q2+…+qn-1)-2nqn
=2•
1−qn
1−q-2nqn
=2•
1−(n+1)qn+nqn+1
1−q
所以Sn=2•
nqn+1−(n+1)qn+1
(q−1)2
综上所述,Sn=
n(n+1) (q=1)
2•
nqn+1−(n+1)qn+1
(q−1)2 (q≠1).
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
已知数列{an}满足a1=1 ,a3=3,且对任意m,n∈N﹢都有am-1+a2n-1=2am+n-1求a2,a4.
已知数列{an}中,a1=0,a2=2,且对任意的m,n∈N*都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(
已知数列{An}、{Bn}满足a1=1/2 b1=-1/2 且对任意m、n∈N+,有Am+n=Am·An,Bm+n=Bm
已知数列an中,a1=1,a2=0,对任意正整数n,m(n>m)满足(an)²-(am)²=(an-
已知等差数列an的首项a1为a,设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有a2n/an=4n-1/2n-1,求数列的通
数列{an},已知对任意正整数n,a1+a2+…+an=2的n次方-1,则a2+a4+…+a2n等于多
已知数列{an}满足a1=1,an+1=[1/2an+n.n为奇数.an-2n,n为偶数]且bn=a2n-2,n∈N+
已知数列an满足对任意的n∈N*,都有an>0,且a1^3+a2^3+.an^3=(a1+a2+.an)^2.
已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1