双曲线C与椭圆x²/3+y²=1有相同焦点,直线y=x是双曲线C的一条渐近线.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 05:56:15

双曲线C与椭圆x²/3+y²=1有相同焦点,直线y=x是双曲线C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程.
(2)已知过点M（1,0）的直线L与双曲线C交于A、B两点若向量OA与向量OB的数量级等于2（O为坐标原点）,求直线L的方程

由椭圆c=根号2,得双曲线c=根号2,且焦点在x轴,由渐近线为y=x,得a=b,所以a=b=1,x^2-y^2=1
（2）当斜率不存在时,直线为x=1,直线与双曲线交于一点,x=1,不满足条件,舍去.
当斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y=k(x-1).与双曲线方程联立为（1-k^2）x^2+2k^2x-k^2-1=0.下面再分类讨论.
当k≠±1时,x1+x2=2k^2/(k^2-1),x1x2=(k^2+1)/(1-k^2).有条件OA与OB数量级为2可得x1x2+y1y2=2,即x1x2+k^2(x1-1)(x2-1)=2.展开,最终可计算出结果.之后代入方程（1-k^2）x^2+2k^2x-k^2-1=0看此时是否正好有两个实数根.
当k=1或-1时,二元一次方程转化为一元一次方程,得到x=1,可知不符合条件,舍去.