已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点为F1 F2,离心率为1/2,又抛物线C2:y^2=4mx(m
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 23:12:08
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点为F1 F2,离心率为1/2,又抛物线C2:y^2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程(已解决可不做)
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1,且与抛物线交于不同两点P Q,且满足 向量F1P=a向量F1Q,求实数a的取值范围.
(1)求椭圆和抛物线的方程(已解决可不做)
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1,且与抛物线交于不同两点P Q,且满足 向量F1P=a向量F1Q,求实数a的取值范围.
(1)椭圆C1:x²/4+y²/3=1,抛物线C2:y²=4x
(2)设直线方程为y=k(x+1),代入抛物线方程整理得k²x²+(2k²-4)x+k²=0
由于直线与抛物线有两交点,△=(2k²-4)²-4k^4>0,解得-1<k<1,且k≠0
向量F1P=a向量F1Q,则有a=丨向量F1P丨/丨向量F1Q丨
由k²x²+(2k²-4)x+k²=0解得两根x1=[2+2√(1-k²)-k²]/k²,x2=[2-2√(1-k²)-k²]/k²
相应的(y1)²=[8+8√(1-k²)-4k²]/k²,(y2)²=[8-8√(1-k²)-4k²]/k²
丨向量F1P丨²=(x1+1)²+(y1)²=[4k²+(8k²+8)√(1-k²)-4k^4+8]/k^4
丨向量F1Q丨²=(x2+1)²+(y2)²=[4k²-(8k²+8)√(1-k²)-4k^4+8]/k^4
a²=丨向量F1P丨²/丨向量F1Q丨²=[k²+(2k²+2)√(1-k²)-k^4+2]/[k²-(2k²+2)√(1-k²)-k^4+2]
=1-4√(1-k²)/[k²+2√(1-k²)-2],令√(1-k²)=t,则0<t<1
原式=1+4t/(t²-2t+1)=1+4/(t+1/t-2)>1
即a²>1
解得a<-1或a>1
又P,Q左右位置不定,且同向,有a>0
所以a的范围为a>0且a≠1
(2)设直线方程为y=k(x+1),代入抛物线方程整理得k²x²+(2k²-4)x+k²=0
由于直线与抛物线有两交点,△=(2k²-4)²-4k^4>0,解得-1<k<1,且k≠0
向量F1P=a向量F1Q,则有a=丨向量F1P丨/丨向量F1Q丨
由k²x²+(2k²-4)x+k²=0解得两根x1=[2+2√(1-k²)-k²]/k²,x2=[2-2√(1-k²)-k²]/k²
相应的(y1)²=[8+8√(1-k²)-4k²]/k²,(y2)²=[8-8√(1-k²)-4k²]/k²
丨向量F1P丨²=(x1+1)²+(y1)²=[4k²+(8k²+8)√(1-k²)-4k^4+8]/k^4
丨向量F1Q丨²=(x2+1)²+(y2)²=[4k²-(8k²+8)√(1-k²)-4k^4+8]/k^4
a²=丨向量F1P丨²/丨向量F1Q丨²=[k²+(2k²+2)√(1-k²)-k^4+2]/[k²-(2k²+2)√(1-k²)-k^4+2]
=1-4√(1-k²)/[k²+2√(1-k²)-2],令√(1-k²)=t,则0<t<1
原式=1+4t/(t²-2t+1)=1+4/(t+1/t-2)>1
即a²>1
解得a<-1或a>1
又P,Q左右位置不定,且同向,有a>0
所以a的范围为a>0且a≠1
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点为F1 F2,离心率为1/2,又抛物线C2:y^2=4mx(m
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