（2014•镇江模拟）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/08 04:44:20

（1）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF（S表示面积）
（2）如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
（3）利用（2）的结论解决下列问题：
我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．（如图3）若O是△ABC的重心，连结AO并延长交BC于D，则

证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵点E为DC边的中点，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，

∠DAE＝∠F
∠D＝∠FCE
DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四边形ABCE}+S_△ADE=S_{四边形ABCE}+S_△FCE，
即S_{四边形ABCD}=S_△ABF；
（2）出当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；
（3）如图3，过点O作GH∥BC交AB于G，交AC于H，

∵GH∥BC
∴
OG
BD=
AO
AD，
OH
DC=
AO
AD，
∵O是△ABC的重心，
∴BD=DC，
∴OG=OH，
由（2）的结论得出S_△AGH最小，则S_{四边形BCHG}最大，即
S四边形BCHG
S△AGH最大．
∵
GH
BC=
AO
AD=
2
3，
∴
S△ABC
S△AGH=
9
4
∴
S四边形BCHG
S△AGH=
5
4．
∴
S四边形BCHG
S△AGH有最大值，最大值为
5
4．

（2014•镇江模拟）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究：如图1,四边形ABCD中,AD 小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中（2014•灌南县模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：（2013•广阳区一模）九年级数学兴趣小组近期开展了对运动型问题的探究．小明同学提供了一个这样的背景：如图，在▱ABCD （2012•镇江模拟）某同学在探究“口腔内的化学性消化”中，制定了如下方案：、（2014•江西模拟）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 15.在一次数学兴趣小组活动中,老师提出如下问题：如图（25-1）,在菱形ABCD中∠ABC=60°,△BEF为等边三某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下：设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在AB, （2010•山东模拟）某学校课外兴趣小组，在一次科学探究活动中，用多用电表对未知电阻进行测量，当选择开关旋到电阻挡的×1 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：初一(1)班数学兴趣小组开展活动,一次,小明胸有成竹地对小亮说:"只要你将心中所想的数