用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 09:14:26
用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数
柯西不等式的关键是构造平方,
故为证原不等式
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]≥9/(a+b+c)
我们可等价变为
{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}≥9/(a+b+c)
(上下都除以2)
亦即求证
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】≥9
而又:
a+b+c=(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2
故
由柯西不等式
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
=[(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2]【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
≥[(1+1+1)]^2
=9
故原不等式成立
故为证原不等式
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]≥9/(a+b+c)
我们可等价变为
{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}≥9/(a+b+c)
(上下都除以2)
亦即求证
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】≥9
而又:
a+b+c=(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2
故
由柯西不等式
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
=[(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2]【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
≥[(1+1+1)]^2
=9
故原不等式成立
用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数
a、b、c互不相等,则2a-b-c/(a-b)(a-c)+2b-c-a/(b-c)(b-a)+2c-a-b/(c-a)(
(a+b)/(a-b)=(b+c)/2(b-c)=(c+a)/3(c-a),abc互不相等,证8a+9b+5c=o
已知a,b,c为互不相等的实数,且满足(a-c)^2-4(b-a)(c-b)=0求证:2b=a+c
不等式 设ABCD为不全相等的正数 求证 B/A+C/B+D/C+A/D大于16
已知a.b.c为正数,证明:a^2*b^2*c^2>=a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b)
已知a,b,c是正数,求证 a^2(b)×b^(2b)×c^(2c)大于等于a^(a+b)×b^(a+c)×c^(a+b
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证:(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
已知a,b,c是不全相等的正数.证明:(a^2b+b^2a)(a^2c+c^2a)(b^2c+c^2b)>8a^3b^3
用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b>a+b+c/2
已知a,b,c均为正数 证明a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2大于等于六倍根号三
设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2