求证:(cosβ/(1+sinβ))-(sinβ/(1+cosβ))=(2cosβ-2sinβ)/(1+sinβ+cos
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 02:29:32
求证:(cosβ/(1+sinβ))-(sinβ/(1+cosβ))=(2cosβ-2sinβ)/(1+sinβ+cosβ)
证明:
方法一:
(利用二倍角公式)
易得:
cosα/(1+sinα)
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}/(sin(α/2)+cos(α/2))^2
=[cos(α/2)-sin(α/2)]/(sin(α/2)+cos(α/2))
sinα/(1+cosα)
=[2sin(α/2)*cos(α/2)]/[1+2cos^2(α/2)-1]
=sin(α/2)/cos(α/2)
∴
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=[cos(α/2)-sin(α/2))]/[sin(α/2)+cos(α/2)]-sin(α/2)/cos(α/2)
={[cos(α/2)]^2-sin(α/2)*cos(α/2)-[sin(α/2)-]^2-sin(α/2)*cos(α/2)}/{sin(α/2)*cos(α/2)+[cos(α/2)]^2}
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)-]^2-2sin(α/2)*cos(α/2)}/{2sin(α/2)*cos(α/2)/2+{2[cos(α/2)]^2-1+1}/2}
=(cosα-sinα)/[sinα/2+(1+cosα)/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法二:
易得:
(1+sinα+cosα)^2
=1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα
=2(1+sinα)*(1+cosα)
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
由前面得:
(1+sinα)*(1+cosα)=(1+sinα+cosα)^2/2
∴左边=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/[(1+sinα+cosα)^2/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法三:
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
左边/右边
=(1+sinα+cosα)^2/2(1+sinα)(1+cosα)
=(1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=2(1+sinα)(1+cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=1
即证!
方法四:
(利用等比性质)
∵ cosα/(1+sinα)=(1-sinα)/cosα
利用等比性质
∴ cosα/(1+sinα)=(1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα) ----(1)
同理:
∵ sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
∴ sinα/(1+cosα)=(1+sinα-cosα)/(1+sinα+cosα) ----(2)
(1)-(2)得
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=(1-sinα+cosα-1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα)
=(2cosα-2sinα)/(1+sinα+cosα)
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法一:
(利用二倍角公式)
易得:
cosα/(1+sinα)
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}/(sin(α/2)+cos(α/2))^2
=[cos(α/2)-sin(α/2)]/(sin(α/2)+cos(α/2))
sinα/(1+cosα)
=[2sin(α/2)*cos(α/2)]/[1+2cos^2(α/2)-1]
=sin(α/2)/cos(α/2)
∴
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=[cos(α/2)-sin(α/2))]/[sin(α/2)+cos(α/2)]-sin(α/2)/cos(α/2)
={[cos(α/2)]^2-sin(α/2)*cos(α/2)-[sin(α/2)-]^2-sin(α/2)*cos(α/2)}/{sin(α/2)*cos(α/2)+[cos(α/2)]^2}
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)-]^2-2sin(α/2)*cos(α/2)}/{2sin(α/2)*cos(α/2)/2+{2[cos(α/2)]^2-1+1}/2}
=(cosα-sinα)/[sinα/2+(1+cosα)/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法二:
易得:
(1+sinα+cosα)^2
=1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα
=2(1+sinα)*(1+cosα)
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
由前面得:
(1+sinα)*(1+cosα)=(1+sinα+cosα)^2/2
∴左边=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/[(1+sinα+cosα)^2/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法三:
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
左边/右边
=(1+sinα+cosα)^2/2(1+sinα)(1+cosα)
=(1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=2(1+sinα)(1+cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=1
即证!
方法四:
(利用等比性质)
∵ cosα/(1+sinα)=(1-sinα)/cosα
利用等比性质
∴ cosα/(1+sinα)=(1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα) ----(1)
同理:
∵ sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
∴ sinα/(1+cosα)=(1+sinα-cosα)/(1+sinα+cosα) ----(2)
(1)-(2)得
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=(1-sinα+cosα-1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα)
=(2cosα-2sinα)/(1+sinα+cosα)
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
求证:(cosβ/(1+sinβ))-(sinβ/(1+cosβ))=(2cosβ-2sinβ)/(1+sinβ+cos
求证sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2cos^2β=1
化简:(1)sin(α+β)−2sinαcosβ2sinαsinβ+cos(α+β)
求证:(cosβ-1)²+sin²β=2-2cosβ
求证 sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
sinα^2+sinβ^2+sinγ^2=1,那么cosαcosβcosγ最大值等于
sinα+sinβ=sinγ cosα+cosβ=cosγ 证明cos(α-γ)
已知sin(α+β)=1/2,sin(α-β)=1/3 (1)求证:sinα*cosβ=5cosα*sinβ
由cos²α-sin²α=1/2(cos²β-sin²β)推出
证明cosα(cosα-cosβ)+ sinα(sinα-sinβ)=2sin平方(α-β)÷2
求证:sin^2/(sin-cos) - (sin+cos)/(tan^2 -1) =sin+cos
求证:cos²α+cos²(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)=sin²2β