作业帮线性代数,实对称矩阵相似对角化问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/06 00:55:11
线性代数,实对称矩阵相似对角化问题
1、给定对称阵A,求正交阵U,使得U^TAU＝U^(-1)AU＝D是对角阵.
一般而言U都不是惟一的,特别是A有重特征值时,答案更不是惟一的.
但这没有关系,只要U的列向量是对应的特征向量,那就没有问题.
2、给定特征值和特征向量,求对称阵A.这个问题一般而言也不是唯一的,
但特殊情况下是惟一的.像本题,属于特征值－1的特征向量α3给定,属于1
的特征向量没给,但答案还是惟一的.这是可以证明的,只不过证明比较繁琐,
一般是不要求证明的,只要求求出对称阵A就可以了.
1是二重特征值,对应两个线性无关的特征向量,这两个特征向量都与属于－1的
特征向量正交,利用这个可以得到方程组
x2+x3＝0.注意到这个方程三个未知数,一个方程,因此有两个线性无关的解,
这恰好是属于1的两个线性无关的特征向量.这个方程的基础解系不惟一,随便取
一组α1,α2,然后令U＝[α1 α2 α3],则U^(-1)AU＝D＝diag(1 1 －1).由此解出A
＝UDU^(－1)即可.值得注意的是这时U不是正交阵.计算可能比较麻烦.为了计算
方便,可以将α1,α2正交化,然后连通α3单位化,这些步骤你做得应该比较熟了,
得到正交阵U,此时U^(－1)AU＝U^TAU＝D,因此A＝UDU^T.你可以验证一下,
两种方法得到的A是一样的.
一般而言U都不是惟一的,特别是A有重特征值时,答案更不是惟一的.
但这没有关系,只要U的列向量是对应的特征向量,那就没有问题.
2、给定特征值和特征向量,求对称阵A.这个问题一般而言也不是唯一的,
但特殊情况下是惟一的.像本题,属于特征值－1的特征向量α3给定,属于1
的特征向量没给,但答案还是惟一的.这是可以证明的,只不过证明比较繁琐,
一般是不要求证明的,只要求求出对称阵A就可以了.
1是二重特征值,对应两个线性无关的特征向量,这两个特征向量都与属于－1的
特征向量正交,利用这个可以得到方程组
x2+x3＝0.注意到这个方程三个未知数,一个方程,因此有两个线性无关的解,
这恰好是属于1的两个线性无关的特征向量.这个方程的基础解系不惟一,随便取
一组α1,α2,然后令U＝[α1 α2 α3],则U^(-1)AU＝D＝diag(1 1 －1).由此解出A
＝UDU^(－1)即可.值得注意的是这时U不是正交阵.计算可能比较麻烦.为了计算
方便,可以将α1,α2正交化,然后连通α3单位化,这些步骤你做得应该比较熟了,
得到正交阵U,此时U^(－1)AU＝U^TAU＝D,因此A＝UDU^T.你可以验证一下,
两种方法得到的A是一样的.