求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,其中L是球面x^2+y^2+z^2=2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 21:33:53
求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,其中L是球面x^2+y^2+z^2=2bx与柱面x^2+y^2=2ax(b>a>0)的交线
(z≧0),L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边
(z≧0),L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边
将L用参数表示出来.设
x=a+a*cos t
y=a*sin t
则可解得
z=2*sqrt(a*(b-a))*cos(t/2)
全部代入,转化为关于t的积分,积分限是0到2pi.剩下的计算细节就留给你自己了
再问: 能写一下剩下的具体过程吗?好麻烦。。。有没有别的方法啊?我是用dydz=cosadS,dxdz=dScosb,dxdy=cosC做的,最后化成2∫∫S(z-y)dS然后就不会了。。。
再答: 要求的不是曲线积分吗?为什么非要套格林公式呢?
再问: 好吧。。。可是用您的方法会算死啊。。。
再答: 不会啊,关键在于积分限是从0到2pi,所以乘开来以后,dx和dy部分展开所得的多数项的积分都是0,只有(cos t)^2不是,而dz部分实际上是关于cos(t/2)的二次多项式的积分,算起来很容易。你再试试
再问: 还是没算出来啊,可不可以麻烦您吧计算过程拍下来传一下啊?
再答: 我们把三个积分分别列一下(用I代替积分号): I(y^2+z^2) dx = I(a^2*sin^2 t + 4*a(b-a)*cos^2 (t/2))*(-a*sin t) dt = I-(a^3*sin^3 t + 2*a^2*(b-a)*(sin t*cos t + sin t))dt = 0; I(z^2+x^2) dy = I(4*a(b-a)*cos^2 (t/2) + a^2*(1 + 2 cos t + cos^2 t))*(a*cos t) dt = I(2ab*cos t + 2ab-a^2 + a^2*cos^2 t)*(a*cos t) dt = I2a^2*b*cos^2 t dt = a^2*b*2pi; I(x^2+y^2) dz = Ia^2*(2+2cos t)*2*sqrt(a(b-a)) d(cos(t/2)) = 8a^2*sqrt(a(b-a))*I(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2)) = 0 以上多次利用了余弦的倍角公式 (是我搞错了,第三个积分当t从0变到2pi时,cos(t/2)从1变到1,所以积分是0)
再问: 第三个积分当t从0变到2pi时,∫(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2))=1/3cos^3(t/2) =-2/3 cos(t/2)从1变到-1啊...
再答: 被忽悠了……你说得对,应该是答案错了
x=a+a*cos t
y=a*sin t
则可解得
z=2*sqrt(a*(b-a))*cos(t/2)
全部代入,转化为关于t的积分,积分限是0到2pi.剩下的计算细节就留给你自己了
再问: 能写一下剩下的具体过程吗?好麻烦。。。有没有别的方法啊?我是用dydz=cosadS,dxdz=dScosb,dxdy=cosC做的,最后化成2∫∫S(z-y)dS然后就不会了。。。
再答: 要求的不是曲线积分吗?为什么非要套格林公式呢?
再问: 好吧。。。可是用您的方法会算死啊。。。
再答: 不会啊,关键在于积分限是从0到2pi,所以乘开来以后,dx和dy部分展开所得的多数项的积分都是0,只有(cos t)^2不是,而dz部分实际上是关于cos(t/2)的二次多项式的积分,算起来很容易。你再试试
再问: 还是没算出来啊,可不可以麻烦您吧计算过程拍下来传一下啊?
再答: 我们把三个积分分别列一下(用I代替积分号): I(y^2+z^2) dx = I(a^2*sin^2 t + 4*a(b-a)*cos^2 (t/2))*(-a*sin t) dt = I-(a^3*sin^3 t + 2*a^2*(b-a)*(sin t*cos t + sin t))dt = 0; I(z^2+x^2) dy = I(4*a(b-a)*cos^2 (t/2) + a^2*(1 + 2 cos t + cos^2 t))*(a*cos t) dt = I(2ab*cos t + 2ab-a^2 + a^2*cos^2 t)*(a*cos t) dt = I2a^2*b*cos^2 t dt = a^2*b*2pi; I(x^2+y^2) dz = Ia^2*(2+2cos t)*2*sqrt(a(b-a)) d(cos(t/2)) = 8a^2*sqrt(a(b-a))*I(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2)) = 0 以上多次利用了余弦的倍角公式 (是我搞错了,第三个积分当t从0变到2pi时,cos(t/2)从1变到1,所以积分是0)
再问: 第三个积分当t从0变到2pi时,∫(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2))=1/3cos^3(t/2) =-2/3 cos(t/2)从1变到-1啊...
再答: 被忽悠了……你说得对,应该是答案错了
求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,其中L是球面x^2+y^2+z^2=2
用斯托克斯公式求I=∮L(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,其中L为平面x+y+z=
求解答、、曲线积分...斯托克斯公式求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,
设有方程x+y^2+z^2=2z,求dz/dx dz/dy
z=(2y+7)^2 * ln(x^3+2) 求dz/dx 和 dz/dy
设Z=f(x^2 +y,2xy),求dz/dx和dz/dy
若z=e^(x^2+y^3),求dz/dx,dz/dy
∫(y+1)dx+(z+2)dy+(x+3)dz,L是球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线,从x抽正向看
微分方程(首次积分)已知dx/(e^x+z)=dy/(e^y+z)=dz/(z^2-e^(x+y)),求x,y,z的关系
∫(L的换积分)(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,L为x^2+y^2+z^2=1与(x-1)^2+(y-1
设二元函数 z=u^2,u=x+y v=x-y ,求dz/dx,dz/dy
求方程组dx/dt=2x-y+z ,dy/dt=x+2y-z ,dz/dt=x-y+2z的通解