数学几何证明难题H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 18:04:59

数学几何证明难题
H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM平行于点P关于三角形ABC的西姆松线,弦QP//BC,弦KQ交边BC于点J.求证三角形KMJ是等腰三角形.
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注：以下是我的个人证法,并不一定是最简单的,仅供参考
证明：如图,DE是西姆松线,连结AH并延长,交圆于点F；作射线MG,使得∠FMG=∠KAM,交直线AH于点G；作MS平行于BC交AH于S.设MP与BC交于点N,MK与AH交于L,AF与BC交于T,AQ与KM,BC分别交于X,Y.连结PB,PD,PE,AQ,KN,AK,AM,CM,CH.
∵PE⊥AB,PD⊥BC
∴PBED共圆
∴∠AED=∠BPD=90°-∠PBC=90°-(1/2)弧PC=90°-(1/2)弧BQ=90°-∠BAQ
即DE⊥AQ
又MK∥DE
∴MK⊥AQ
∵PQKM共圆
∴∠QKM+∠QPM=∠JKM+∠JNM=180°,即NJKM共圆
∴∠JKM=∠MNC,∠KMJ=∠KNJ
因此要证△KMJ是等腰三角形,或证∠JKM=∠KMJ
只需证∠MNC=∠KNJ
注意到H为垂心,因此H与F关于BC对称（这点易证,这里就不详述了）
因此又只需证KNF共线
下面应用梅涅劳斯定理来证明KNF共线,取△MLH
要证KNF共线
只需证(MK/KL)(LF/FH)(HN/NM)=1        (1)
而HN/NM=S(△CNH)/S(△CNM)=CN·(1/2)HF/(CN·ST)=(1/2)HF/ST
MK/KL=S(△AKM)/S(△AKL)=AM·AK·sin∠KAM/(AK·ALsin∠KAL)=AMsin∠KAM/(ALsin∠KAL)
代入(1)式,我们只需证(AM·LF·sin∠KAM)/(AL·ST·sin∠KAL)=2      (2)
而LF/AL=S(△LFM)/S(△LMA)=MFsin∠FMK/(AMsin∠AMK)
且∠FMK=∠KAL
代入(2)式,我们只需证(MFsin∠KAM)/(ST·sin∠AMK)=2
或证MF·KM/(ST·AK)=2     (3)
另一方面,∵∠FMG=∠KAM,∠GFM=∠MKA
∴△GFM∽△MKA
∴KM/KA=FG/FM     (4)
∠G=∠AML
又注意到LXYT共圆（AQ⊥AM,AF⊥BC）,AQPM共圆
∴∠AMH+∠AQP=∠AMH+∠AYN=180°,∠XLT+∠XYT=∠ALM+∠AYN=180°
∴∠AMH=∠ALM
∴∠AML=∠AHM=∠G,即△MGH是等腰三角形
于是GF=GH+HF=2(SH+HT)=2ST     (5)
将(4)(5)代入(3),即证明了(3)
这样就证明了KNF共线
于是说明了△KMJ是等腰三角形

数学几何证明难题H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM 数学几何题.锐角三角形ABC中 AD是边BC上的高,H是线段AD上一点,BH和CH的延长线分别交AC AB于点E和F 过初二几何奥赛题三角形ABC为锐角三角形,AD为BC边上的高,H为AD上一点,直线BH.CH分别交AC,AB于E,F证明∠ 一道八年级几何题在三角形ABC中,M是边AC的中点,P为AM上一点,过P做PK平行于AB交BC于K.若PX=2,XK=3 D是等边三角形ABC边AC上一点,延长AB到E,使BE=CD,连接DE交BC于点P.求证:PD=PE D是等边三角形ABC边AC上一点,延长AB到E,使BE=CD连接DE交BC于点P,求证:PD=PE 在三角形ABC中,AB=AC,D是AB的中点,P是线段CD上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC 已知点M是△ABC的中线AD上的一点,直线BM交边AC于点N,且AB是△NBC的外接圆的切线,设BC/BN=k,试求BM 已知D是三角形ABC的边BC上的一点,过D点的直线交AC于D,交AB延长线于P,AE平行于BC,交PQ于E,PD比PE= 九年级几何证明题如图所示,在RT△ABC中,∠CBA=90°,D是AB延长线上一点,E在BC上,连接DE并延长交AC于点 AB是半圆的直径,M为半圆上任意一点,C为弧AM的中点,CP垂直AB于点P,交AM于点D,连接BC,交AM于点E,请说明 D是△ABC的边BC上一点,过D点的直线交AC于Q,交AB延长线于P,AE‖BC,交Q于E,PD:PE=DQ:QE.求证