作业帮m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/14 08:22:28
m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2
因该是(a^2+b^2)/2
因该是(a^2+b^2)/2
柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≤(ac+bd)^2
则(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2
[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]/2≤根号{[a^（m+n）+b^（m+n）]/2}
即[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2≤2a^（m+n）+b^（m+n）
所以(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
根据上一个不等式问题(2)成立.
1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)≤1/2(a^3+b^3)
1/2(a^3+b^3)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
所以1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
如果对柯西不等式不清楚,可以上网查找,很容易找到,并且柯西不等式很有用!
其实有一个更加一般的结论：
m,n是奇偶性相同的自然数,求证：(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
分析:(a^m+b^m)(a^n+b^n)
=a^(m+n)+a^m*b^n+a^n*b^m+b^(m+n)
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m*b^n+a^n*b^m)
=a^(m+n)-a^m*b^n-a^n*b^m+b^(m+n)
=a^m(a^n-b^n)-b^m*(a^n-b^n)
=(a^n-b^n)(a^m-b^m)
=(a-b)^2*[a^(m-1)+a^(m-2)b+a^(m-3)b^2+.+b^(n-1)]*
[a^(n-1)+a^(n-2)b+.+b^(n-1)]
因为(a-b)^2>=0,在a,b是正实数,m,n是自然数的情况下,
a^m*b^n+a^n*b^m=
则(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2
[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]/2≤根号{[a^（m+n）+b^（m+n）]/2}
即[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2≤2a^（m+n）+b^（m+n）
所以(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
根据上一个不等式问题(2)成立.
1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)≤1/2(a^3+b^3)
1/2(a^3+b^3)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
所以1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
如果对柯西不等式不清楚,可以上网查找,很容易找到,并且柯西不等式很有用!
其实有一个更加一般的结论：
m,n是奇偶性相同的自然数,求证：(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
分析:(a^m+b^m)(a^n+b^n)
=a^(m+n)+a^m*b^n+a^n*b^m+b^(m+n)
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m*b^n+a^n*b^m)
=a^(m+n)-a^m*b^n-a^n*b^m+b^(m+n)
=a^m(a^n-b^n)-b^m*(a^n-b^n)
=(a^n-b^n)(a^m-b^m)
=(a-b)^2*[a^(m-1)+a^(m-2)b+a^(m-3)b^2+.+b^(n-1)]*
[a^(n-1)+a^(n-2)b+.+b^(n-1)]
因为(a-b)^2>=0,在a,b是正实数,m,n是自然数的情况下,
a^m*b^n+a^n*b^m=
m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2
已知a,b,c是正实数,且a^2+b^2=c^2.求证:当n>2且n为自然数时,a^n+b^n
对于非零自然数a和b，规定符⊗的含义是：a⊗b=m×a+b2×a×b（m是一个确定的整数），如果1⊗4=2⊗3，那么3⊗
已知m>0,n>0 求证a2/m+b2/n大于等于（a+b)2/(m+n)
已知a,b是不相等的两个正数,求证：(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)^2.
2a-3b/b2-a2 -a+3b/a2-b2 +a+2b/a2-b2
费马定理求证不存在自然数a,b,c满足a^n+b^n=c^n(n>2,n∈Z),(^后的数字是指数)
因式分解-3题1.已知a+b=2,求1/2a2+ab+1/2b2的值.2.求证当N是整数时（2N+1）2-1能被8整除.
已知a.b 满足方程组a+2b=3-m 2a+b=m+6 则a+b的值为 a3 b2 c1 d-3
a>0,b>0,a≠b,m.n是正整数,n>m,求证a^n+b^n>a^mb^(n-m)+a^(n-m)b^m
已知M=a-b√a+b+3是a+b+3的算术平方根,N=a-2b+3√a+2b是a+2b的立方根,求M-N的立方根
已知a,b为正有理数,设m=b/a,n=(2a+b)/(a+b).求证:根号2的大小在m,n之间.