已知命题所有x都使x^4+aX^2+1大于或等于0为真命题,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 18:12:13
已知命题所有x都使x^4+aX^2+1大于或等于0为真命题,求实数a的取值范围
答案为a大于等于-2
答案为a大于等于-2
由于:所有x都使x^4+aX^2+1大于或等于0 这个命题为真命题
所以有:x^4+aX^2+1 >= 0 恒成立;
设 t = x^2 则 t >= 0;
那么上述可以表示为:
不等式:t^2 + a*t + 1 >= 0 当t >= 0 时 恒成立;
设f(t) = t^2 + a*t + 1
则只要min f(t) >= 0 即可
这个二次函数的对称轴为 t = -a/2;
① -a/2 = 0时,f(t)在t >= 0 是单调递增的,故 min f(t) = f(0)只需要让:f(0) >= 0
即 1 >= 0;显然是该式是恒成立的,所以 a.>= 0 是满足条件的;
② -a/2 >= 0 即 a = 0 时的最小值就是 f(-a/2);
所以令:f(-a/2) >= 0 即:(-a/2)^2 + a*(-a/2) + 1 >= 0 解得:-2
所以有:x^4+aX^2+1 >= 0 恒成立;
设 t = x^2 则 t >= 0;
那么上述可以表示为:
不等式:t^2 + a*t + 1 >= 0 当t >= 0 时 恒成立;
设f(t) = t^2 + a*t + 1
则只要min f(t) >= 0 即可
这个二次函数的对称轴为 t = -a/2;
① -a/2 = 0时,f(t)在t >= 0 是单调递增的,故 min f(t) = f(0)只需要让:f(0) >= 0
即 1 >= 0;显然是该式是恒成立的,所以 a.>= 0 是满足条件的;
② -a/2 >= 0 即 a = 0 时的最小值就是 f(-a/2);
所以令:f(-a/2) >= 0 即:(-a/2)^2 + a*(-a/2) + 1 >= 0 解得:-2
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