作业帮高数：求解微分方程通解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 17:40:37
高数：求解微分方程通解
齐次方程的特征方程为r^2-2r+1=0
特征根为r1=r2=1
所以齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e^x
设非齐次方程的特解为y*=Ax^2e^x
则(y*)'=A(x^2+2x)e^x
(y*)"=A(x^2+4x+2)e^x
把它们三个代入原方程得A(x^2+4x+2)e^x-2A(x^2+2x)e^x+Ax^2e^x=e^x
解得A=1/2
所以特解为y*=1/2·x^2e^x
则非齐次方程的通解为y=(C1+C2·x+1/2·x^2)e^x
再问： 为什么可以设非齐次方程特解为y*=Ax^2e^x，而不是y*=x^2(ax^2+bx+c)e^x
再答： 等号右边e^x的系数是1，所以用A
特征根为r1=r2=1
所以齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e^x
设非齐次方程的特解为y*=Ax^2e^x
则(y*)'=A(x^2+2x)e^x
(y*)"=A(x^2+4x+2)e^x
把它们三个代入原方程得A(x^2+4x+2)e^x-2A(x^2+2x)e^x+Ax^2e^x=e^x
解得A=1/2
所以特解为y*=1/2·x^2e^x
则非齐次方程的通解为y=(C1+C2·x+1/2·x^2)e^x
再问： 为什么可以设非齐次方程特解为y*=Ax^2e^x，而不是y*=x^2(ax^2+bx+c)e^x
再答： 等号右边e^x的系数是1，所以用A