作业帮已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/10/06 19:16:09
已知函数f（x）=lnx+
| k |
| x |
（1）当k=1时，函数f（x）=lnx+
1
x，则f′（x）=
1
x−
1
x2=
x−1
x2，
当f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≥2+
1−e
x恒成立，即lnx+
k
x≥2+
1−e
x恒成立，整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立，
设h（x）=2x-xlnx+1-e，则h′（x）=1-lnx，令h′（x）=0，得x=e，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
因此当x=e时，h（x）取得最大值1，因而k≥1；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因为对任意的x1，x2（0＜x1＜x2），总存在x0＞0，使得g′（x0）=
g(x1)−g(x2)
x1−x2成立，
所以lnx0+1=
g(x1)−g(x2)
x1−x2，即lnx0+1=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2，
即lnx0-lnx1=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1-lnx1=
x2lnx1−x2lnx2+x2−x1
x1−x2=
ln
x1
x2+1−
x1
x2
1
x，则f′（x）=
1
x−
1
x2=
x−1
x2，
当f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≥2+
1−e
x恒成立，即lnx+
k
x≥2+
1−e
x恒成立，整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立，
设h（x）=2x-xlnx+1-e，则h′（x）=1-lnx，令h′（x）=0，得x=e，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
因此当x=e时，h（x）取得最大值1，因而k≥1；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因为对任意的x1，x2（0＜x1＜x2），总存在x0＞0，使得g′（x0）=
g(x1)−g(x2)
x1−x2成立，
所以lnx0+1=
g(x1)−g(x2)
x1−x2，即lnx0+1=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2，
即lnx0-lnx1=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1-lnx1=
x2lnx1−x2lnx2+x2−x1
x1−x2=
ln
x1
x2+1−
x1
x2
已知函数f(x)=-x^2+kx+5x+1,g(x)=-lnx+kx,其中k∈R (1)当k=1时,求行数f(x)的极值
已知函数f(x)=-x^3+kx^2+5x+1,g(x)=-lnx+kx,其中k∈R (1)当k=1时,求行数f(x)的
已知函数f(x)=ln(x+1)+kx 其中（k∈R）
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx（k∈R）为偶函数
已知f（x）=x2，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同
已知函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
已知函数f(x)=log9(9 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
.已知函数f(X)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
已知函数f(x)=Iog4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
已知函数f(x)=log9(9^x+1)+kx (k∈R)是偶函数.
已知函数f(x)=[(lnx)/x]+kx(x>0)