作业帮高数 微分方程的通解 请指教一下方法
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/26 16:17:52
高数 微分方程的通解 请指教一下方法
这个是题目 然后部分答案是
就是想知道 这个红框的当中 黄色部分 根据题意不是有需要对这个所设的式子进行1、 2次求导 然后分别代入 原式吗 这样的话我觉得最笨的办法求实在太. 而且花费时间 考试的时候肯定不行 有没有什么简便 的方法 求出这个所设的式子 亲详解 谢谢了
这个是题目 然后部分答案是
就是想知道 这个红框的当中 黄色部分 根据题意不是有需要对这个所设的式子进行1、 2次求导 然后分别代入 原式吗 这样的话我觉得最笨的办法求实在太. 而且花费时间 考试的时候肯定不行 有没有什么简便 的方法 求出这个所设的式子 亲详解 谢谢了
首先考虑线性方程y''-2y'+5y=0的解
其特征方程r^2-2r+5=0
可求出r1,2=1±2i
所以线性方程的解为y=e^x * (ucos2x+vsin2x) (1表现在e^(1x),2则表现在cos2x和sin2x,x前的系数)
再考虑非其次方程的解
由于e^x *cos2x 中(e^(1x) * cos2x (有1,2)),于是1+2i是单根
所以特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) (特解是在通解的基础上乘以x^n,
当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式
当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2)
直接得出答案即可(因为这些在教材上已经证明,考试的话只会让你应用,而不考为什么)
再问： 到特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) 我是知道的 就是 这个后面 你说是 (特解是在通解的基础上乘以x^n, 当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式 当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2) 我是想说 所有的常微分方程都是 这样的的吗 还是 有类型的 我没有教材 帮个忙吧 谢谢
再答： 嗯,所有的都是这样,f(x)不是特征方程的根时,n=0,单根n=1,重根n=2 推荐同济大学第六版,网上应该有这种书,另外想更深入研究的话 可以选择看看,等
其特征方程r^2-2r+5=0
可求出r1,2=1±2i
所以线性方程的解为y=e^x * (ucos2x+vsin2x) (1表现在e^(1x),2则表现在cos2x和sin2x,x前的系数)
再考虑非其次方程的解
由于e^x *cos2x 中(e^(1x) * cos2x (有1,2)),于是1+2i是单根
所以特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) (特解是在通解的基础上乘以x^n,
当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式
当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2)
直接得出答案即可(因为这些在教材上已经证明,考试的话只会让你应用,而不考为什么)
再问： 到特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) 我是知道的 就是 这个后面 你说是 (特解是在通解的基础上乘以x^n, 当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式 当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2) 我是想说 所有的常微分方程都是 这样的的吗 还是 有类型的 我没有教材 帮个忙吧 谢谢
再答： 嗯,所有的都是这样,f(x)不是特征方程的根时,n=0,单根n=1,重根n=2 推荐同济大学第六版,网上应该有这种书,另外想更深入研究的话 可以选择看看,等