(2012•杭州一模)已知函数f(x)=x2-x+alnx
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/23 21:24:38
(2012•杭州一模)已知函数f(x)=x2-x+alnx
(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.
(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.
(1)由f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立
当x=1时a∈R(2分)
当x>1时即a≤
x
lnx,令g(x)=
x
lnx,g′(x)=
lnx−1
ln2x (4分)
x≥e时g'(x)≥0,g(x)在x>e时为增函数,g(x)在x<e时为减函数
∴gmin(x)=e∴a≤e(6分)
(2)f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+
a
x=
2x2−x+a
x,x>0
(1)当△=1-8a≤0,a≥
1
8时,f′(x)≥0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上为增函数.(8分)
(2)当a<
1
8时
①当0<a<
1
8时,
1+
1−8a
4>
1−
1−8a
4>0,
f(x)在[
1−
1−8a
4,
1+
1−8a
4]上为减函数,
f(x)在(0,
1−
当x=1时a∈R(2分)
当x>1时即a≤
x
lnx,令g(x)=
x
lnx,g′(x)=
lnx−1
ln2x (4分)
x≥e时g'(x)≥0,g(x)在x>e时为增函数,g(x)在x<e时为减函数
∴gmin(x)=e∴a≤e(6分)
(2)f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+
a
x=
2x2−x+a
x,x>0
(1)当△=1-8a≤0,a≥
1
8时,f′(x)≥0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上为增函数.(8分)
(2)当a<
1
8时
①当0<a<
1
8时,
1+
1−8a
4>
1−
1−8a
4>0,
f(x)在[
1−
1−8a
4,
1+
1−8a
4]上为减函数,
f(x)在(0,
1−
已知函数f(x)=x2+alnx
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(2012•汕头二模)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
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