作业帮大一高数:求以下微分方程的通解(高手进)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 13:26:19
大一高数:求以下微分方程的通解(高手进)
y′ - y=x^2
y″ = y
y′ =e^(y/x) +(y/x)
麻烦告诉我这些是什么类型的方程,是齐次方程,二阶常系数齐次线性微分方程,像这类的.答得好一定采纳!
y′ - y=x^2
y″ = y
y′ =e^(y/x) +(y/x)
麻烦告诉我这些是什么类型的方程,是齐次方程,二阶常系数齐次线性微分方程,像这类的.答得好一定采纳!
1.一阶常系数线性非齐次方程
齐次通解为y=e^x
特解设为y=ax平方＋bx+c
y'=2ax+b
2ax+b-ax平方-bx-c=x^2
-ax^2+(2a-b)x+b-c=x^2
-a=1
2a-b=0
b-c=0
所以
a=-1
b=-2
c=-2
特解为y=-x^2-2x-2
通解为y=ce^x-x^2-2x-2
2.二阶常系数齐次线性方程
r平方=1
r1=1,r2=-1
通解为y=c1e^x+c2e^(-x)
3.齐次方程
令y/x=u
y=ux
y'=xu'+u
代入原式,得
xu'+u=e^u+u
xdu/dx=e^u
-e^(-u)du=-1/xdx
两边积分,得
e^(-u)=-lnx+lnc
e^(-u)=lnc/x
c/x=e^[e^(-u)]
c=xe^[e^(-u)]
即
通解为
xe^[e^(-y/x)]=c
再问： 请问你是怎么判断出第一个是非齐次方程的？要经过计算吗？
再答： y′ - y=0 这个是齐次的 y′ - y=x^2 是非齐次的，主要看等号右边是0还是不是0.
齐次通解为y=e^x
特解设为y=ax平方＋bx+c
y'=2ax+b
2ax+b-ax平方-bx-c=x^2
-ax^2+(2a-b)x+b-c=x^2
-a=1
2a-b=0
b-c=0
所以
a=-1
b=-2
c=-2
特解为y=-x^2-2x-2
通解为y=ce^x-x^2-2x-2
2.二阶常系数齐次线性方程
r平方=1
r1=1,r2=-1
通解为y=c1e^x+c2e^(-x)
3.齐次方程
令y/x=u
y=ux
y'=xu'+u
代入原式,得
xu'+u=e^u+u
xdu/dx=e^u
-e^(-u)du=-1/xdx
两边积分,得
e^(-u)=-lnx+lnc
e^(-u)=lnc/x
c/x=e^[e^(-u)]
c=xe^[e^(-u)]
即
通解为
xe^[e^(-y/x)]=c
再问： 请问你是怎么判断出第一个是非齐次方程的？要经过计算吗？
再答： y′ - y=0 这个是齐次的 y′ - y=x^2 是非齐次的，主要看等号右边是0还是不是0.