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22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/03 02:55:42
22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式； (2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．解：(1)当0≤x≤a时，f(x)＝； 当x＞a时，f(x)＝. 因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，a)上单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增． ①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝. ②若0＜a＜4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}． 而f(0)－f(4)＝， 故当0＜a≤1时，g(a)＝f(4)＝； 当1＜a＜4时，g(a)＝f(0)＝. 综上所述，g(a)＝ (2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求． 当0＜a＜4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 若存在x1，x2∈(0,4)(x1＜x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直， 则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1， 即. 亦即x1＋2a＝.(*) 由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，∈. 故(*)成立等价于集合A＝{x|2a＜x＜3a}与集合B＝的交集非空． 因为＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜时，A∩B≠. 综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.
因为 ＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜ 时，A∩B≠ ，这一步看不懂，为什么？请老师指点。
解题思路： 在红字部分，给你做出了解答，最主要的是A与B两个集合由公共元素，这是关键.
解题过程：

22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大 已知函数f(x)是定义在区间[-a、a](a>0)上的奇函数,F(x)=f（x）+1,则F(x)的最大值域与小值之和为? 已知函数f(x)=-x^2+8x,求f(x)在区间[0,5]上的最大最小值； 18 ．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( ) 1 f x x   ，函数 ( ) 2 ln g x t x 已知函数f(x)=x+9/x(x＞0)写出函数f(x)的单调区间 求函数f(x)在区间[2.9] 上的值域 函数求导题已知函数f(x)=ln(2-x)+ax当a>0时,求函数f(x)在区间【0,1】上的最大值 (本小题满分14分) 已知函数 f (x)＝e x －k －x，其中x∈R． (1)当k＝0时，若g(x)＝   已知函数f(x)=4x x2+a .请完成以下任务:(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的 已知二次函数f(x)=ax²+4x+3a,且f(1)=0 求函数f(x)在【t,t+1】上的最大 （本小题满分12分）函数f(x)=ax 2 －2(a－1)x－2lnx ,a>0 高一函数题：已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数. 设偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数(a>0),判断F(x)=(1/2)^f(x)-x 在区间[-b,-a]上的单