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二诊数学22题请教： 22．已知数列｛an｝满足：a1=1,an+1= (n∈N*) （I）求证：1≤an≤2 （II）

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 23:31:27
二诊数学22题请教： 22．已知数列｛an｝满足：a1=1,an+1= (n∈N*) （I）求证：1≤an≤2 （II）设，数列｛bn｝的前n项和为Sn，求证： （i） (ii)
请老师帮忙详细解答，非常感谢！
解题思路： 第一问，用数学归纳法，很简单； 第二问的(i)，放缩后转化为等比数列，还不是太难； 最后一小问，转化、放缩、求和、构造函数、导数判断单调性，要求太高了。 不知道我的放缩有没有错误，也请你替我检查一下。
解题过程：
22．已知数列｛an｝满足：a1=1,an+1= (n∈N*)
（I）求证：1≤an≤2
（II）设，数列｛bn｝的前n项和为Sn，求证：
（i） ；　(ii)
证明：( I ) 用数学归纳法证明：
① 由a1＝1，显然满足 1≤a1≤2， 即n＝1时，不等式成立；
② 假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立， 即 1≤ak≤2，
则 ， 得 ；， 得 ；
∴ ， 即 当n＝k＋1时，不等式也成立；
由①②，据数学归纳法原理，得 不等式总成立；
( II ) ( i ) 由 ，，
得 ，

∴ ， 又 ，
∴ ，
( ii ) 承( i )，由 ，【注：的条件是，这不成立】
得 ，
∴ 当n≥2时，，
∴ （n≥1），
构造函数：，x≥1，
则 ， ∴ 在[1，+∞)上是增函数，
于是，对任何正整数n，都有
，
即　，
∴　【证毕】．
二诊数学22题请教： 22．已知数列｛an｝满足：a1=1,an+1= (n∈N*) （I）求证：1≤an≤2 （II） 已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1． 已知数列{an}满足：a1=3,an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（Ⅰ）证明数列{(an-1)/an-2 （2011•广安二模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n-1（n∈N*）． 已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）． 已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1 已知数列{An}满足A1=1,An+1=2An+2^n.求证数列An/2是等差数列 高二必修五数列相关解答题 已知数列｛an｝满足a n+1 = 2an+1（n∈N*）,且a1=1 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*． 已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=2an/（an+2）（n∈N+）,则数列｛an｝的通项公式为 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）， 已知数列{An}满足:A1=3 ,An+1=(3An-2)/An,n属于N*.1）证明：数列{（An--1）/（An--