已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ax3-2ax2+bx+1(a>0)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 05:21:08
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ax3-2ax2+bx+1(a>0)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=
f(x)−1 |
x |
(1)当x<0时,-x>0,
故f(-x)=a(-x)3-2a(-x)2+b(-x)+1
=-ax3-2ax2-bx+1,
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)=-f(-x)=ax3+2ax2+bx-1,
所以f(x)=
ax3−2ax2+bx+1,x>0
0,x=0
ax3+2ax2+bx−1,x<0.
(2)当x∈[2,3]时,g(x)=
f(x)−1
x=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a,
∵a>0,∴g(x)在区间[2,3]上单调递增,
故
g(3)=4
g(2)=1,
∴
9a−6a+b=4
4a−4a+b=1,
解得a=1,b=1.
故f(-x)=a(-x)3-2a(-x)2+b(-x)+1
=-ax3-2ax2-bx+1,
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)=-f(-x)=ax3+2ax2+bx-1,
所以f(x)=
ax3−2ax2+bx+1,x>0
0,x=0
ax3+2ax2+bx−1,x<0.
(2)当x∈[2,3]时,g(x)=
f(x)−1
x=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a,
∵a>0,∴g(x)在区间[2,3]上单调递增,
故
g(3)=4
g(2)=1,
∴
9a−6a+b=4
4a−4a+b=1,
解得a=1,b=1.
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