问一道奥数不等式题设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>=

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 23:38:41

问一道奥数不等式题
设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c
求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>=4abc

由x+y+z=a+b+c这个条件,不妨设a=(x+y)/2,b=(y+z)/2,c=(z+x)/2,这样就能化简掉条件.代入可得原不等式等价于:
[(x+y)x^2]/2+[(y+z)y^2]/2+[(z+x)z^2]/2+xyz>=(x+y)(y+z)(z+x)/2
x^3+y^3+z^3+(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz>=(x+y)(y+z)(z+x)
x^3+y^3+z^3+(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz>=(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)+2xyz
x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2
由对称性不妨设z=max{x,y,z}
且由x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),由均值不等式x^2+y^2>=2xy
所以x^3+y^3>=xy(x+y)=x^2y+xy^2
则x^3+y^3+z^3-(xy^2+yz^2+zx^2)>=x^2y+xy^2+z^3-xy^2-yz^2-zx^2=z^3+x^2y-yz^2-zx^2=z(z^2-x^2)+y(x^2-z^2)=(z+x)(z-x)(z-y)>=0
于是x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2成立
原不等式得证.

问一道奥数不等式题设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>= 已知x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,且x+y+z不等于0.证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1 ．已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2=ax+by-cz,求证:x/ 设a,b,c,x,y,z,都是正数,且a^2+b^2+c^2=25.,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=3 已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证：x/a 34.已知:,且b-c/x=c-y=a-b/z ,求证:ax+by+cz=0怎么证明不等式应用：已知a*a+b*b+c*c=1,x*x+y*y+z*z=9.那么ax+by+cz的最大值是? 已知a,b,c,x,y,z都是正数,求(b c)/ax^2 (c a)/by^2 (a b)/cz^2>=2(xy yz 设a,b,c,x,y,z都是实数,若a^2+b^2+c^2=25,x^2+y^2+z^2=25,ax+by+cz=25, abc为非零实数,(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2,求证x/a=y/b=z 已知abc为非零数,（a^2+b^2+c^2）(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz),求证x/a=y/b=z/ 已知a,b,c为非零实数（a2+b2+c2)×（X2+Y2+Z2)=(zX+bY+cZ)2 求证：X/a=Y/b=Z/