任意一个三角形的内接圆半径为r,外接圆半径为R,请证明两圆的圆心距d等于什么(要有过程)?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 11:47:11
任意一个三角形的内接圆半径为r,外接圆半径为R,请证明两圆的圆心距d等于什么(要有过程)?
d^=r^2-2rR
三角形的外接圆O的半径r,内接圆I的半径R
证明:因为为任意三角形,不妨连接AI,OI
则∠AOI=п/2-B-A/2 (这里A,B,C为都是三个内角的大小,此值可用三内角相加除以2-角A/2,易证明)
首先用余弦定理
(R^2/(sin(A/2))^2+r^2-d^2)/(2rR/sinA)=cos∠AOI
=cos(п/2-B-A/2)=cos(п/2-B/2-(B+A)/2)
=cos(-B/2+c/2)
=cos((C-B)/2)
化解通分得
d^2=r^2+R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
要证明命题成立即证明
R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
=-2Rr
化解,通分后得R/sin(A/2)=-2r(-cos((C-B/2))+cos((B+C)/2))
=4rsin(C/2)sin(B/2)
化解得R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
即证明此等式成立,也就是你问的等式为什么成立,现在证明此等式成立:
用正弦定理
2r=AB/sin(C)=[Rcot(A/2)+Rcot(B/2)]
/2sin(C/2)cos(C/2)
化解通分得
4rcos(C/2)sin(A/2)sin(C/2)sin(B/2)
=R(cos(A/2)sin(B/2)+sin(A/2)cos(B/2))
=Rcos(C/2)
两边削去cos(C/2)
即证明R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
成立
所以原命题成立
所以d^=r^2-2rR
三角形的外接圆O的半径r,内接圆I的半径R
证明:因为为任意三角形,不妨连接AI,OI
则∠AOI=п/2-B-A/2 (这里A,B,C为都是三个内角的大小,此值可用三内角相加除以2-角A/2,易证明)
首先用余弦定理
(R^2/(sin(A/2))^2+r^2-d^2)/(2rR/sinA)=cos∠AOI
=cos(п/2-B-A/2)=cos(п/2-B/2-(B+A)/2)
=cos(-B/2+c/2)
=cos((C-B)/2)
化解通分得
d^2=r^2+R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
要证明命题成立即证明
R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
=-2Rr
化解,通分后得R/sin(A/2)=-2r(-cos((C-B/2))+cos((B+C)/2))
=4rsin(C/2)sin(B/2)
化解得R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
即证明此等式成立,也就是你问的等式为什么成立,现在证明此等式成立:
用正弦定理
2r=AB/sin(C)=[Rcot(A/2)+Rcot(B/2)]
/2sin(C/2)cos(C/2)
化解通分得
4rcos(C/2)sin(A/2)sin(C/2)sin(B/2)
=R(cos(A/2)sin(B/2)+sin(A/2)cos(B/2))
=Rcos(C/2)
两边削去cos(C/2)
即证明R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
成立
所以原命题成立
所以d^=r^2-2rR
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若圆的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且有R平方+d平方-r平方=2Rd.判断两圆的位置关系
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已知O1,O2的半径分别为R,r(R>r)圆心距为d,且两圆相交,判定x²-2(d-R)X+r²根的