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已知不等式x2-4x+3<0的解集是A.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/09 02:11:38
已知不等式x2-4x+3<0的解集是A.
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)函数f(x)=log2(a-x)(a∈R)的定义域为集合B,若A⊆B,求a的取值范围;
(Ⅲ)不等式ax2-2x-2a>0(a∈R且a≠0)的解集为C,若A∩C≠φ,求a的取值范围.
(Ⅰ)解不等式x2-4x+3<0可得1<x<3
所以,A=(1,3)…(4分)
(Ⅱ)由题意可得B=(-∞,a)
∵A⊆B∴a≥3                  …(8分)
(Ⅲ)设g(x)=ax2-2x-2a1
①a>0时,g(3)>0⇒a>
6
7;
②a<0时,g(1)>0⇒a<-2
则a的取值范围是(−∞,−2)∪(
6
7,+∞).…(15分)
另∵f(x)为二次函数,∴a≠0,令f(x)=0,解得其两根为x1=
1
a-
2+
1
a2<0,x2=
1
a+
2+
1
a2>0
①当a>0时,A={x|x<x1或x>x2},又知集合B={x|1<x<3},A∩C≠∅,则满足:x2<3,即
1
a+
2+
1
a2<3,
∴a>
6
7;
②当a<0时,A={x|x1<x<x2},A∩C≠∅其满足x2>1,即
1
a+
2+
1
a2>1,解得a<-2.
综上所述,使A∩C≠∅成立的a的取值范围是(−∞,−2)∪(
6
7,+∞).