高二圆锥曲线题已知抛物线y^2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90度,则动直线BC过定点______
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 23:52:45
高二圆锥曲线题
已知抛物线y^2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90度,则动直线BC过定点________
(不要取两个点的方法)
已知抛物线y^2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90度,则动直线BC过定点________
(不要取两个点的方法)
设B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC方程为x=my+t
联立抛物线方程与直线BC方程得y²-4my-4t=0
y1+y2=4m,y1y2=-4t
∠BAC=90度,所以AB⊥AC,(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0
x1=my1+t,x2=my2+t,代入得(my1+t-1)(my2+t-1)+(y1-2)(y2-2)=0
化简得(m²+1)y1y2+[m(t-1)-2](y1+y2)+(t-1)²+4=0
(m²+1)(-4t)+[m(t-1)-2](4m)+(t-1)²+4=0
化简得t²-6t+5=4m(m+2)
即(t-3)²=4(m+1)²
所以t-3=±2(m+1)
若t-3=2(m+1),则t=2m+5,直线BC为x=my+2m+5,显然过定点(5,-2);
若t-3=-2(m+1),则t=-2m+1,直线BC为x=my-2m+1,显然过定点(1,2),这个点就是点A,故舍.
故直线BC过定点(5,-2).
联立抛物线方程与直线BC方程得y²-4my-4t=0
y1+y2=4m,y1y2=-4t
∠BAC=90度,所以AB⊥AC,(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0
x1=my1+t,x2=my2+t,代入得(my1+t-1)(my2+t-1)+(y1-2)(y2-2)=0
化简得(m²+1)y1y2+[m(t-1)-2](y1+y2)+(t-1)²+4=0
(m²+1)(-4t)+[m(t-1)-2](4m)+(t-1)²+4=0
化简得t²-6t+5=4m(m+2)
即(t-3)²=4(m+1)²
所以t-3=±2(m+1)
若t-3=2(m+1),则t=2m+5,直线BC为x=my+2m+5,显然过定点(5,-2);
若t-3=-2(m+1),则t=-2m+1,直线BC为x=my-2m+1,显然过定点(1,2),这个点就是点A,故舍.
故直线BC过定点(5,-2).
高二圆锥曲线题已知抛物线y^2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90度,则动直线BC过定点______
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