15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪P

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 21:27:40

15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪PB=PC▪PD；
（2）设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8,CD=6,求OP的长.
前2小问我能证明，就是第（3）小问我不会证明，

第三问,括号里是原因：
(3)作辅助线OM⊥AB于M.ON⊥CD于N,  并连接OP、OB、OC
∵OM⊥AB,所以BM=1/2AB=1/2×8=4          (原因：这个垂线是由圆心做的,想想垂径定理是怎么说的----垂直于弦的直径平分这个弦.则OM垂直平分AB.）
同理：ON⊥CD.所以NC=1/2×6=3        （ON垂直平分CD)
且OB、OC是直径=2√5       （题上所说）
因为垂直,所以所得的△OBM、△ONC是直角三角形.
∴在Rt△OBM中,OM=√OB²-BM²=√(2√5)²-4²=2（原因：利用勾股定理）
同理：在Rt△ONC中,ON²=√OC²-NC²=√(2√5)²-3²=√11（原因：同上）
我下面发一个图,直观一些.注意看图.
∵AB⊥CD,所以形成了一个直角∠DPB.且有OM⊥AB,ON⊥CD,所以得到另两个直角
∠OMP,∠ONP.则此时四边形ONPM是矩形  （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴MP=ON=√11  （矩形对边相等）
∴在Rt△OMP中,OP=√MP²+OM²=√(√11²)+2²=√15
∴OP长为√15
总结：此题运用添加辅助线的方法来做.构造直角三角形,再用勾股定理,进行等量转化是常用的方法.
不知道你看得懂不.这是我想的方法,可能有点绕了些.添好辅助线以后的图在下方.